Ingenieursstudenten kennen das: Spätestens nach einem Jahr ist in vielen Vorlesungen die Rede von Eigenwerten, Eigenvektoren oder gar Eigenräumen. So richtig verstehen, was das alles soll, tun nur wenige.
Die Definition der Eigenwerte zeigt schon, wozu dieses Konstrukt gut ist:
bedeutet, dass der Vektor \(\vec{x}\) durch Multiplikation mit der Matrix \(\mathbf{A}\) auf ein Vielfaches seiner selbst abgebildet wird. Und das ist schon alles, was man wissen muss: Die Multiplikation \(\mathbf{A} \vec{x}_\text{eig}\) ist für bestimmte Vektoren einfach eine Skalarmultiplikation. Das vereinfacht den Umgang mit Matrixmultiplikationen unheimlich, weil man sie nicht mehr betrachten muss, wenn man Aussagen über das Ergebnis der Matrixmultiplikation treffen möchte. Die Größe des skalaren Werts \(\lambda_i\) zum i-ten Eigenvektor beschreiben charakteristische Eigenschaften der Matrix bezüglich dieses Eigenvektors.
Anwendungsbeispiel
Die einfache Matrix-Differenzengleichung
beschreibt, wie sich der Vektor \(\vec{x}\) in diskreten Schritten verändert. Möchte man wissen, ob für \(k \rightarrow \infty\) der Vektor konvergiert, betrachtet man die Eigenwerte. Wieso? — Für Eigenwerte und die zugehörigen Vektoren gilt
wobei \(\lambda\) ein Skalar ist. Es gibt bei einer \(N \times N\)-Matrix bis zu N Eigenvektoren, deshalb der Index i. Der Eigenvektor wird also auf ein Vielfaches seiner selbst abgebildet. Wenn \(|\lambda| < 1\), schrumpft \(\vec{x}_\text{eig}\), sonst wird es größer.
Wenn die \(N \times N\)-Matrix \(\Phi\) nun \(N\) linear unabhängige Eigenvektoren besitzt, spannen diese den gesamten Raum \(\mathbb{R}^N\) auf. Jeder andere Vektor kann als Linearkombination dieser Vektoren dargestellt werden:
Dabei werden die Gewichtungsfaktoren \(\alpha_i\) so gewählt, dass die Gleichung erfüllt ist. Nach dem Distributivgesetz gilt
Heißt also: Wenn eine Eigenschaft für die Eigenvektoren gilt, überträgt sich diese auch auf andere Vektoren, wenn diese als Linearkombination der ursprünglichen Vektoren dargestellt werden. Wenn also im obigen Beispiel alle Eigenwerte von \(\Phi\) betragsmäßig kleiner als 1 sind, so wird jeder beliebige Vektor \(\vec{x}^*_0\) für \(k\rightarrow \infty\) gegen 0 gehen.